同素分堆問題是求方法數(shù)問題的一種基本題型。它的最基本的模型是：

　　“把n個(gè)相同的元素分成m堆，每堆至少1個(gè)，問有多少中不同的分法？”

　　這里的“同素”即“相同的元素”，在這個(gè)模型中，最關(guān)鍵的是“每堆至少1個(gè)”這句話，必須是每堆至少一個(gè)，才可用我們接下來要講的解決這類問題的方法：隔板法。

　　【例1】把10本相同的書分給3個(gè)班級，每班至少1個(gè)，問有多少種不同的分法？

　　【思路】本題中“同素”：是10本相同的書，故n=10；

　　分給3個(gè)班級：即將書分成3堆，故m=3；

　　每班至少1本。

　　故本題為同素分堆問題的最基本的模型。

　　解決方法：隔板法。把10本書排成一排，因?yàn)闀窍嗤?，不存在排列順序問題。

　　要把這10本書分成三堆，只要在這10本書形成的空隙中插入2個(gè)隔板即可。10本書排成一排，形成了11個(gè)空。但是，因?yàn)橐竺堪嘀辽俜忠槐緯宰钋懊娴目蘸妥詈笠粋€(gè)空是不能插板的，則只能在中間形成的9個(gè)空中插入2個(gè)隔板，即從9個(gè)空中選擇2個(gè)空插入隔板。然而，到底選擇的2個(gè)空插入隔板是用排列還是組合呢？

　　【解析】由于兩個(gè)隔板的放置的位置不同就已經(jīng)體現(xiàn)了三個(gè)班級分得書本數(shù)的可能性，故只要在9個(gè)空中選2個(gè)位置放隔板即可，不需要選完之后再排列，用組合即可，即隔板的放置方法共有   種，也即把10本相同的書分給3個(gè)班級，每班至少1個(gè)，共有   種方法。

　　【總結(jié)】把n個(gè)相同的元素分成m堆，每堆至少1個(gè)，有   不同的分法。

　　然而，行測數(shù)學(xué)運(yùn)算部分關(guān)于此知識點(diǎn)的考查往往是基本模型的變形的形式。和基本模型的主要區(qū)別在于，題干中所給的條件不在是“每堆至少1個(gè)”，而是“每堆至少多于1個(gè)”，當(dāng)問題這樣變形后，就不能直接用隔板法解決了。

　　【例2】把10本相同的書分給3個(gè)班級，每班至少2本，問有多少種不同的分法？

　　【解析】這個(gè)問題中，在分書時(shí)，要求的是“每班至少2本”。我們說，在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時(shí)，要求必須是“每堆至少1個(gè)”。為此，解決不是“每堆至少1個(gè)”的同素分堆問題時(shí)，我們用轉(zhuǎn)化的思想。即想辦法把“每班至少多于1個(gè)”轉(zhuǎn)化成“每堆至少1個(gè)”，再應(yīng)用隔板法解題。

　　本題中就可以通過先每班分一本書，然后還剩7本書，所以本題就轉(zhuǎn)化為：

　　“把7本相同的書分給3個(gè)班級，每班至少一本，問有多少中不同的分法？”

　　應(yīng)用隔板法：n=7，m=3，故有 種不同的分法。

　　【總結(jié)】在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時(shí)，一定要區(qū)分題干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1個(gè)”，可直接應(yīng)用隔板法解題；如果“每堆至少分的多于1個(gè)”，則應(yīng)該將其轉(zhuǎn)化為“每堆至少分1個(gè)”的情況，再應(yīng)用隔板法。

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