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幾何中的最短路徑問題-2022年河北公務(wù)員考試行測技巧
http://m.qlkzxdg.cn       2021-04-13      來源:河北公務(wù)員考試網(wǎng)
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  幾何問題是近幾年省考中必考的熱門題型,考查頻率越來越高。其中的最短路徑問題考查較多,方法性很強(qiáng),通過學(xué)習(xí)可以有良好掌握,學(xué)習(xí)的性價比很高。下面河北公務(wù)員考試網(wǎng)(m.qlkzxdg.cn)為大家具體講解如何解決幾何中的最短路徑問題。


  最短路徑問題考查形式通常為求點(diǎn)之間的最短距離,核心解題方法為平面上兩點(diǎn)之間,線段最短。在考試中最短路徑問題主要分為兩大類,平面幾何最短路徑與立體幾何最短路徑。雖然題目有多種問法,但萬變不離其宗,只要知識點(diǎn)掌握牢固、能夠融會貫通,無論如何創(chuàng)新如何結(jié)合,我們都可以熟練解決。


  平面幾何最短路徑問題


  1.兩點(diǎn)異側(cè)


  題型特征:求在直線異側(cè)的兩點(diǎn)之間的最短距離,或在直線異側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和


  解題方法:兩點(diǎn)之間,線段最短,三點(diǎn)共線時距離之和最短


  例1.【2011聯(lián)考】火車站A和B與初始發(fā)車站C的直線距離都等于akm,站點(diǎn)A在發(fā)車站C的北偏東20度,站點(diǎn)B在發(fā)車站C的南偏東40度,若在站點(diǎn)A和站點(diǎn)B之間架設(shè)火車軌道,則最短的距離為:


  A. akm


  B. 3akm


  C. 2akm


  D. akm


  【解題思路】如圖所示,根據(jù)題意中A在C點(diǎn)北偏東20度和B在C點(diǎn)南偏東40度可知,A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成頂角為120度的等腰三角形,且AB為底邊。過點(diǎn)C做AB的中垂線,交AB于點(diǎn)D。根據(jù)勾股定理可得,CD=a,AD=a,則AB=2AD=a,正確答案為D。

 


  【點(diǎn)評】公務(wù)員考試中,三角形求邊長常用勾股定理和相似三角形。因此建議各位考生將常見三角形邊長比例熟練記憶,如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本題若變形為C火車站正東建立新火車站D,求AB兩點(diǎn)到D距離之和最短,因三點(diǎn)共線時距離之和最短,直接連接AB即為最短距離和。


  2.兩點(diǎn)同側(cè)


  題型特征:求在直線同側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和


  解題方法:將其中一點(diǎn)鏡像對稱,使三點(diǎn)共線


  例1.【2019浙江】 A、B點(diǎn)和墻的位置如圖所示。現(xiàn)從A點(diǎn)出發(fā)以5米/秒的速度跑向墻,接觸到墻后再跑到B點(diǎn)。問最少要多少秒到達(dá)B點(diǎn)?

 


  A. 30


  B. 34


  C. 38


  D. 42


  【解題思路】要用最短時間到達(dá)B點(diǎn),在速度一定的情況下,需從A接觸到墻后再跑到B點(diǎn)所走的路程最短。如圖,由于A和B在墻的同側(cè),可考慮做其中一個點(diǎn)關(guān)于墻的對稱點(diǎn),該對稱點(diǎn)與另一個點(diǎn)的連線即為最短路程。假設(shè)做A點(diǎn)的對稱點(diǎn)C,最短距離為BC。CD=90米,BD=30+45+45=120米,最短距離BC==150米,則t==30秒,正確答案為A。

 


  【點(diǎn)評】先判斷為同側(cè)問題,需要作其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn),再連接另外一點(diǎn),用勾股定理求解。兩點(diǎn)同側(cè)時,對稱哪一個點(diǎn)都可以,但是一般為了計算方便,建議對稱短的那一個。


  例2.【2017聯(lián)考】如下圖所示,某條河流一側(cè)有A.、B.兩家工廠,與河岸的距離分別為4km和5km,且A.與B.的直線距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水,需要在距離河岸1km處建造一個污水處理廠,分別鋪設(shè)排污管道連接A.、B.兩家工廠。假定河岸是一條直線,則排污管道總長最短是:

 


  A. 12km


  B. 13km


  C. 14km


  D. 15km


  【解題思路】如下圖所示,過污水處理廠做河岸的平行線HC,D為A關(guān)于HC的對稱點(diǎn),則最短距離為DB,由題污水廠離河1km可得A點(diǎn)距離到HC為HA=HD=3km,B點(diǎn)距離HC等于EH=4km,則DE=3+4=7km。,所以,正確答案為B。

 


  【點(diǎn)評】本題中題目AB為河流一側(cè),因此為兩點(diǎn)同側(cè)。提醒大家注意,若以河為對稱軸,求的點(diǎn)為交點(diǎn),此時污水處理廠建在河里,因此此題的對稱軸是第三個點(diǎn)所在的水平線,過C作一條沿河岸的平行線,軸距離河岸為1km。計算時若忽略了這一點(diǎn),將無法求解正確答案。


  立體幾何最短路徑問題


  題型特征:求立體圖形中兩點(diǎn)的最短距離


  解題方法:將立體圖形展開放在同一平面,連線計算


  例1.【2019河北】長、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長方體ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上,有一個螞蟻從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C_1獲取食物,其路程最小值是多少cm?


  A. 13


  B.


  C.


  D. 17


  由題干螞蟻從A出發(fā)沿長方體表面爬行到最短,畫圖可知,在長方體中A和不在同一平面,要求最短距離先要把A和C_1放在同一平面內(nèi),則把面翻折,形成面,再連接,根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短求解。如下圖:

 


  是直角三角形ABC_1的斜邊,要讓斜邊最短,則兩直角邊的平方和要盡可能小。當(dāng)AB=12,=4+3=7時,兩直角邊的平方和最小,最短==,正確答案為B。


  【點(diǎn)評】長方體最短路徑問題可直接運(yùn)用結(jié)論,長方體中相對的兩個頂點(diǎn)沿表面走的最短距離為:;最短路徑數(shù)為2條,因為長方體存在對立面,每一條路徑都有一條與之相對的路徑,因此有2條。


  例2. 【2013北京】A和B為正方體兩個相對的頂點(diǎn),一個點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體表面以最短路徑移動到B,則其可選擇的路線有幾條:


  A. 2


  B. 3


  C. 6


  D. 12


  【解題思路】正方體有3組對立面,如圖可知每一條路線在對立面上都有一條與之對應(yīng)的路線,因此每組對立面有2條路線,3組對立面共6條路線,正確答案為C。

 


  【點(diǎn)評】若本題為求A到B最短距離,則可將正方體展開,將AB放在同一平面內(nèi)。連接AB后,AB==邊長。


  正方體最短路徑問題也有有對應(yīng)結(jié)論,小編建議可以直接用結(jié)論做題,正方體中相對的兩個頂點(diǎn)最短距離為邊長,最短路徑數(shù)為6條。


  以上就是對于幾何中的最短路徑問題的詳細(xì)講解。幾何問題在近幾年的國考、聯(lián)考及單獨(dú)命題省考中每年均有考查,最短路徑問題大家可以看到套路性很強(qiáng),希望各位考生通過學(xué)習(xí)均能對此有良好的掌握。



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