在考試中??嫉挠袃煞N題型,分別是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解決容斥原理常用的方法有公式法和畫圖法,其中公式法解決容斥原理是非??焖俚慕忸}方法,只要學會公式,理解并能夠熟練應(yīng)用公式,那么容斥原理是考場中比較容易拿分的一種題型。
兩集合容斥原理公式為:滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)-兩者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù);
三集合容斥原理分成標準型和非標準型兩種。
三集合標準型容斥原理公式為:滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)+滿足條件3的個數(shù)-滿足兩個條件的個數(shù)+三者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-三者都不滿足的個數(shù)。
三集合非標準型容斥原理公式為:滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)+滿足條件3的個數(shù)-“只”滿足兩個條件的個數(shù)-2×三者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-三者都不滿足的個數(shù)。
【例1】學校有300個學生選擇參加地理興趣小組,生物興趣小組或者兩個小組同時參加。如果80%學生參加地理興趣小組,50%學生參加生物興趣小組。問同時參加地理和生物興趣小組的學生人數(shù)是多少?
A.240
B.150
C.90
D.60
答案:C
【解析】第一步,本題考查容斥問題,屬于二集合容斥類,用公式法解題。
第二步,共兩個興趣小組,其中80%的學生參加地理興趣小組、50%的學生參加生物興趣小組,根據(jù)兩集合容斥原理公式:滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)-兩者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù),設(shè)同時參加兩個興趣小組的學生占比為x,則有80%+50%-x=100%-0,解得x=30%,那么同時參加兩個興趣小組的共有300×30%=90(人)。因此,選擇C選項。
【例2】學某單位共有240名員工,其中訂閱A期刊的有125人,訂閱B期刊的有126人,訂閱C期刊的有135人,訂閱A、B期刊的有57人,訂閱A、C期刊的有73人,訂閱3種期刊的有31人,此外,還有17人沒有訂閱這三種期刊中的任何一種。問訂閱B、C期刊的有多少人?
A.57
B.64
C.69
D.78
答案:B
【解析】第一步,本題考查容斥原理。
第二步,題目中滿足兩個條件的集合人數(shù)是分別給出的,應(yīng)用三集合標準型容斥原理公式解題。設(shè)訂閱B、C期刊的有x人,可列方程:125+126+135-57-73-x+31=240-17,解得x=64(也可利用尾數(shù)法求得尾數(shù)為4)。因此,選擇B選項。
【例3】某班參加學科競賽人數(shù)40人,其中參加數(shù)學競賽的有22人,參加物理競賽的有27人,參加化學競賽的有25人,只參加兩科競賽的有24人,參加三科競賽的有多少人?
A.2
B.3
C.5
D.7
答案:C
【解析】第一步,本題考查容斥問題,屬于三集合容斥類,用公式法解題。
第二步,設(shè)參加三科競賽的有x人,根據(jù)三集合非標準型容斥原理公式可列方程:40-0=22+27+25-24-2x,解得x=5。因此,選擇C選項。