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2015河北公務(wù)員考試行測(cè)指導(dǎo):方陣問(wèn)題
http://m.qlkzxdg.cn 2014-10-27 來(lái)源:河北公務(wù)員考試網(wǎng)
一、考情分析
通過(guò)近幾年的省考來(lái)看,方陣問(wèn)題雖然并不像行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題那樣年年都會(huì)考查。但是作為公務(wù)員考試的一個(gè)??贾R(shí)點(diǎn),大家還是應(yīng)該對(duì)其引起重視,尤其近兩年常會(huì)碰到的方陣的轉(zhuǎn)換及變形,以及空心方陣問(wèn)題都有一定難度,需要大家熟記方陣問(wèn)題的公式。
二、基礎(chǔ)知識(shí)
1.題型簡(jiǎn)介
方陣問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是許多人或物按一定的條件排成正方形(簡(jiǎn)稱方陣),再根據(jù)排成的方陣,找出規(guī)律,尋求解決問(wèn)題的方案。
2.概念區(qū)分
行:排隊(duì)時(shí),橫著排叫做行。
列:排隊(duì)時(shí),豎著排叫做列。
實(shí)心方陣:中心區(qū)域沒(méi)有空缺,叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
偶數(shù)型實(shí)心方陣:如圖3方陣每行每列都為偶數(shù),叫偶數(shù)型實(shí)心方陣,其幾何中心不存在元素,其中心區(qū)域由4個(gè)元素構(gòu)成。
3.方陣問(wèn)題的基本概念
(1)方陣不管在哪一層,每邊人的數(shù)量都相同,每向里面一層,每邊的數(shù)就減少2。
(2)方陣每相鄰兩層之間的總?cè)藬?shù)都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該準(zhǔn)確判斷方陣的類(lèi)型,要搞清方陣中的一些量(如層數(shù)、最外層人數(shù)、最里層人數(shù)、總?cè)藬?shù))之間的關(guān)系。解題時(shí)要開(kāi)動(dòng)腦筋,運(yùn)用相關(guān)公式,用多種方法來(lái)解題。
三、方陣問(wèn)題考點(diǎn)精講
?。ㄒ唬?shí)心方陣
(1)方陣總?cè)藬?shù)=方陣最外層每邊人數(shù)的平方
?。?)方陣每層總?cè)藬?shù)=方陣每層每邊人數(shù)×4-4
?。?)方陣每層每邊人數(shù)=(方陣每層總?cè)藬?shù)+4)÷4
?。?)奇數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)-1
偶數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)
例題1:在一次閱兵式上,某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人?
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據(jù)題意可知,閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人,則最外層總?cè)藬?shù)為30×4-4=116人;
根據(jù)相鄰兩層相差為8人可知,次外層總?cè)藬?shù)為116-8=108人;
最外兩層共有116+108=224人。
提示:(1)在方陣中若去掉一行一列,去掉的人數(shù)=原來(lái)每行人數(shù)×2-1;
(2)在方陣中若去掉二行二列,去掉的人數(shù)=原來(lái)每行人數(shù)×4-2×2。
(二)空心方陣
根據(jù)“相鄰兩層的人數(shù)相差為 8”,即以方陣最外層人數(shù)為首項(xiàng),依次向里,組成一個(gè)公差為-8 的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列求和公式可得:
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-(層數(shù)-1)×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-(層數(shù)-1)×層數(shù)×4
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+(層數(shù)-1)×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+(層數(shù)-1)×層數(shù)×4
公式不需要直接記憶,只要記住每一層的人數(shù)能夠組成一個(gè)公差為-8的等差數(shù)列就可以了。
例題2:有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣,外層人數(shù)共有60人,中間一層共44人,則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是:
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一,根據(jù)“相鄰兩層人數(shù)相差為8”,結(jié)合“外層人數(shù)共有60人,中間一層共44人”,可知這個(gè)方陣從外到內(nèi)每層人數(shù)依次是60、52、44、36、28,所以該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是60+52+44+36+28=220人。
方法二,最外層到中間一層相差(60-44)÷8=2層,即中間一層是第3層,一共有5層,則總?cè)藬?shù)是5×44=220人。
?。ㄈ┓疥嚾藬?shù)增減
例題3:體育課學(xué)生排成一個(gè)方陣,最外層的人數(shù)為60人,如要在方陣最外層增加一層,則增加后最外層每邊有多少人?
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數(shù)為60人,則最外邊每邊人數(shù)為(60+4)÷4=16,增加一層后最外層每邊人數(shù)為16+2=18人。
?。ㄋ模┓疥囍嘏?br />
例題4:五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲、乙兩個(gè)實(shí)心方陣,其中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8。如果兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的 丙方陣,丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外層每邊的人數(shù)多4人,且甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人?
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數(shù)=甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù),若丙方陣為實(shí)心的,那么實(shí)心的丙方陣人數(shù)=2×甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù),即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人,則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多4×4=16人,即多了16÷8=2層。這兩層的人數(shù)即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的 128人,則丙方陣最外層人數(shù)為(128+8)÷2=68人,則丙方陣最外層每邊人數(shù)為(68+4)÷4=18人。那么,共有18×18-8×8=260 人。
?。ㄎ澹┓疥噯?wèn)題與其他問(wèn)題相結(jié)合
例題5:某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個(gè)6行、8列的長(zhǎng)方陣?,F(xiàn)在要求各行從左至右1,2,1,2,1,2,1,2報(bào)數(shù),再各列從前到后1,2,3,1,2,3報(bào)數(shù)。問(wèn)在兩次報(bào)數(shù)中,所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有:
A.18個(gè) B.24個(gè) C.32個(gè) D.36個(gè)
【答案詳解】此題可畫(huà)出直觀圖進(jìn)行解答。當(dāng)從左至右報(bào)1時(shí),從前至后報(bào)2的有8人,報(bào)3的也有8人;當(dāng)從左至右報(bào)2時(shí),同理可得,從前至后報(bào)1的有8人,報(bào)3的也有8人,即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方(方陣問(wèn)題的核心)
2.方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)+1
3.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
通過(guò)近幾年的省考來(lái)看,方陣問(wèn)題雖然并不像行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題那樣年年都會(huì)考查。但是作為公務(wù)員考試的一個(gè)??贾R(shí)點(diǎn),大家還是應(yīng)該對(duì)其引起重視,尤其近兩年常會(huì)碰到的方陣的轉(zhuǎn)換及變形,以及空心方陣問(wèn)題都有一定難度,需要大家熟記方陣問(wèn)題的公式。
二、基礎(chǔ)知識(shí)
1.題型簡(jiǎn)介
方陣問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是許多人或物按一定的條件排成正方形(簡(jiǎn)稱方陣),再根據(jù)排成的方陣,找出規(guī)律,尋求解決問(wèn)題的方案。
2.概念區(qū)分
行:排隊(duì)時(shí),橫著排叫做行。
列:排隊(duì)時(shí),豎著排叫做列。
實(shí)心方陣:中心區(qū)域沒(méi)有空缺,叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
奇數(shù)型實(shí)心方陣:如圖2方陣每行每列都為奇數(shù),叫奇數(shù)型實(shí)心方陣,其幾何中心恰好存在一個(gè)元素。
偶數(shù)型實(shí)心方陣:如圖3方陣每行每列都為偶數(shù),叫偶數(shù)型實(shí)心方陣,其幾何中心不存在元素,其中心區(qū)域由4個(gè)元素構(gòu)成。
空心方陣:中心區(qū)域有空缺,叫空心方陣。
如圖4是一層的空心方陣,圖5是二層的空心方陣。
3.方陣問(wèn)題的基本概念
(1)方陣不管在哪一層,每邊人的數(shù)量都相同,每向里面一層,每邊的數(shù)就減少2。
(2)方陣每相鄰兩層之間的總?cè)藬?shù)都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該準(zhǔn)確判斷方陣的類(lèi)型,要搞清方陣中的一些量(如層數(shù)、最外層人數(shù)、最里層人數(shù)、總?cè)藬?shù))之間的關(guān)系。解題時(shí)要開(kāi)動(dòng)腦筋,運(yùn)用相關(guān)公式,用多種方法來(lái)解題。
三、方陣問(wèn)題考點(diǎn)精講
?。ㄒ唬?shí)心方陣
(1)方陣總?cè)藬?shù)=方陣最外層每邊人數(shù)的平方
?。?)方陣每層總?cè)藬?shù)=方陣每層每邊人數(shù)×4-4
?。?)方陣每層每邊人數(shù)=(方陣每層總?cè)藬?shù)+4)÷4
?。?)奇數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)-1
偶數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)
例題1:在一次閱兵式上,某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人?
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據(jù)題意可知,閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人,則最外層總?cè)藬?shù)為30×4-4=116人;
根據(jù)相鄰兩層相差為8人可知,次外層總?cè)藬?shù)為116-8=108人;
最外兩層共有116+108=224人。
提示:(1)在方陣中若去掉一行一列,去掉的人數(shù)=原來(lái)每行人數(shù)×2-1;
(2)在方陣中若去掉二行二列,去掉的人數(shù)=原來(lái)每行人數(shù)×4-2×2。
(二)空心方陣
根據(jù)“相鄰兩層的人數(shù)相差為 8”,即以方陣最外層人數(shù)為首項(xiàng),依次向里,組成一個(gè)公差為-8 的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列求和公式可得:
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-(層數(shù)-1)×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-(層數(shù)-1)×層數(shù)×4
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+(層數(shù)-1)×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+(層數(shù)-1)×層數(shù)×4
公式不需要直接記憶,只要記住每一層的人數(shù)能夠組成一個(gè)公差為-8的等差數(shù)列就可以了。
例題2:有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣,外層人數(shù)共有60人,中間一層共44人,則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是:
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一,根據(jù)“相鄰兩層人數(shù)相差為8”,結(jié)合“外層人數(shù)共有60人,中間一層共44人”,可知這個(gè)方陣從外到內(nèi)每層人數(shù)依次是60、52、44、36、28,所以該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是60+52+44+36+28=220人。
方法二,最外層到中間一層相差(60-44)÷8=2層,即中間一層是第3層,一共有5層,則總?cè)藬?shù)是5×44=220人。
?。ㄈ┓疥嚾藬?shù)增減
例題3:體育課學(xué)生排成一個(gè)方陣,最外層的人數(shù)為60人,如要在方陣最外層增加一層,則增加后最外層每邊有多少人?
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數(shù)為60人,則最外邊每邊人數(shù)為(60+4)÷4=16,增加一層后最外層每邊人數(shù)為16+2=18人。
?。ㄋ模┓疥囍嘏?br />
例題4:五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲、乙兩個(gè)實(shí)心方陣,其中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8。如果兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的 丙方陣,丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外層每邊的人數(shù)多4人,且甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人?
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數(shù)=甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù),若丙方陣為實(shí)心的,那么實(shí)心的丙方陣人數(shù)=2×甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù),即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人,則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多4×4=16人,即多了16÷8=2層。這兩層的人數(shù)即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的 128人,則丙方陣最外層人數(shù)為(128+8)÷2=68人,則丙方陣最外層每邊人數(shù)為(68+4)÷4=18人。那么,共有18×18-8×8=260 人。
?。ㄎ澹┓疥噯?wèn)題與其他問(wèn)題相結(jié)合
例題5:某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個(gè)6行、8列的長(zhǎng)方陣?,F(xiàn)在要求各行從左至右1,2,1,2,1,2,1,2報(bào)數(shù),再各列從前到后1,2,3,1,2,3報(bào)數(shù)。問(wèn)在兩次報(bào)數(shù)中,所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有:
A.18個(gè) B.24個(gè) C.32個(gè) D.36個(gè)
【答案詳解】此題可畫(huà)出直觀圖進(jìn)行解答。當(dāng)從左至右報(bào)1時(shí),從前至后報(bào)2的有8人,報(bào)3的也有8人;當(dāng)從左至右報(bào)2時(shí),同理可得,從前至后報(bào)1的有8人,報(bào)3的也有8人,即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方(方陣問(wèn)題的核心)
2.方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)+1
3.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
4.去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1
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